Question

3．如圖，已知O，A，B是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，直線OA，OB，AB將平面區(qū)域分成7部分，若點(diǎn)P落在區(qū)域①中（含邊界），則z=2x+y的最大值為（　�。�

• A． 不存在
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意，點(diǎn)P在△OAB內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得到x，y的約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最大值即可．

解答 解：因?yàn)辄c(diǎn)P在△OAB內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$，
畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示，
由z=2x+y，
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）時(shí)，在y軸的截距最大，
所以z的最大值為2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量基本定理以及簡單的線性規(guī)劃問題，是綜合性題目．