Question

18．已知a，b為正實(shí)數(shù)，a+b=1，且a，b的值使$\frac{1}{a}+\frac{4}$取得最小值，此最小值為m，則函數(shù)f（x）=ax³-4x²-mx+1的極大值為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{25}{3}$
• C． -89
• D． $\frac{17}{3}$

Answer 1

分析 由均值不等式求出b=$\frac{2}{3}$，a=$\frac{1}{3}$，m=9，從而f（x）=ax³-4x²-mx+1=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4{x}^{2}-9x+1$，由此能求出函數(shù)f（x）=ax³-4x²-mx+1的極大值．

解答 解：∵a，b為正實(shí)數(shù)，a+b=1，且a，b的值使$\frac{1}{a}+\frac{4}$取得最小值，此最小值為m，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（a+b）=$\frac{4a}+\frac{a}+5$≥2$\sqrt{\frac{4a}×\frac{a}}$+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a，即b=$\frac{2}{3}$，a=$\frac{1}{3}$時(shí)，取等號(hào)，
∴b=$\frac{2}{3}$，a=$\frac{1}{3}$，m=9，
∴f（x）=ax³-4x²-mx+1=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4{x}^{2}-9x+1$，
f′（x）=x²-8x-9，
由f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=9，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-1，9）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（9，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax³-4x²-mx+1取極大值：
f（-1）=$\frac{1}{3}×（-1）^{3}-4×（-1）^{2}+9×（-1）$+1=$\frac{17}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．