Question

2．如圖所示，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且對(duì)稱軸與AB平行的拋物線的一段．設(shè)P是曲線段OC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在BC上，PMBN是矩形，問點(diǎn)P在曲線段OC上什么位置的時(shí)候才能使矩形PMBN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線方程，將P代入拋物線方程，求得a，求得拋物線方程，求得矩形PMBN的面積S的表達(dá)式，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)$x=\frac{2}{3}$時(shí)，S取得最大值，即$|{PN}|=\frac{32}{9}$，矩形PMBN面積的最大值為$\frac{256}{27}$．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，AO所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．依題意，C（2，4），…（2分）
設(shè)曲線段所對(duì)應(yīng)的拋物線方程為y=ax²，
∵P在曲線段OC上，
∴4=a×2²，a=1，…（4分）
拋物線方程為y=x²（0≤x≤2），
設(shè)P（x，x²）（0≤x≤2）是曲線段上任意一點(diǎn)，則|PM|=x+2，|PN|=4-x²，
所以${S_{PMBN}}=（2+x）（4-{x^2}）=8+4x-2{x^2}-{x^3}（0≤x＜2）$，…（8分）
S'=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），…（10分）
當(dāng)$-2＜x＜\frac{2}{3}$時(shí)，S'＞0；當(dāng)$x＞\frac{2}{3}$時(shí)，S'＜0，
∴在區(qū)間$[0\;，\;\frac{2}{3}）$上，S是x的增函數(shù)，
在區(qū)間$（\frac{2}{3}\;，\;2）$上，S是x的減函數(shù)，…（12分）
∴當(dāng)$x=\frac{2}{3}$時(shí)，S取得最大值，此時(shí)$|{PN}|=\frac{32}{9}$，…（13分）
即點(diǎn)P在曲線段OC上，到BC的距離為$\frac{32}{9}$時(shí)，矩形PMBN面積的最大值為$\frac{256}{27}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．