Question

12．設(shè)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，x∈R，（其中a為常數(shù)）．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）法一：利用函數(shù)的奇偶性的定義，直接求解即可．
法二：求出f（0）=0代入求解即可．
（2）利用函數(shù)恒成立，分離變量，利用函數(shù)的值域求解即可．

解答 （本題滿分12分）
解：法一：（Ⅰ）因為f（x）為奇函數(shù)
所以f（-x）=-f（x）…（1分）
即：$f（-x）=a-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}=-f（x）=-a+\frac{2}{{{2^x}+1}}$
所以a=1…（5分）
法二：因為x∈R，f（x）為奇函數(shù)
所以f（-x）=-f（x）
所以f（-0）=-f（0）
所以f（0）=0…（3分）
得：a=1…（5分）
（Ⅱ）$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$
因為f（x）+a＞0恒成立，
即$2a＞\frac{2}{{{2^x}+1}}$恒成立．…（7分）
因為2^x+1＞1，
所以$0＜\frac{2}{{{2^x}+1}}＜2$．…（10分）
所以2a≥2
即a≥1．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．