Question

20．如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊閑置的直角三角形（其中∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a）土地開發(fā)成公共綠地，設(shè)計(jì)時(shí)，要求綠地部分（圖中陰影部分）有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個(gè)關(guān)于走道MN對(duì)稱的三角形（△AMN和△A′MN），現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求M點(diǎn)與B點(diǎn)不重合，A′點(diǎn)落在邊BC上，設(shè)∠AMN=θ．
（1）若θ=$\frac{π}{3}$，綠地“最美”，求最美綠地的面積；
（2）為方便小區(qū)居民行走，設(shè)計(jì)時(shí)要求AN，A′N最短，求此時(shí)公共綠地走道MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 由∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a，得∠BAC=$\frac{π}{3}$，設(shè)MA=MA′=xa（0＜x＜1），則MB=a-xa，所以在Rt△MBA′中，cos（π-2θ）=$\frac{a-xa}{xa}$=$\frac{1-x}{x}$；
（1）因?yàn)棣?$\frac{π}{3}$，所以cos（π-2θ）=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x值，可得△AMN為等邊三角形，進(jìn)而得到最美綠地的面積；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，可得AN=$\frac{a}{\frac{1}{2}+sin（2θ-\frac{π}{6}）}$，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，AN最短，且AN=$\frac{2}{3}a$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：由∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a，得∠BAC=$\frac{π}{3}$…（1分）
設(shè)MA=MA′=xa（0＜x＜1），則MB=a-xa，
所以在Rt△MBA′中，cos（π-2θ）=$\frac{a-xa}{xa}$=$\frac{1-x}{x}$…（3分）
（1）因?yàn)棣?$\frac{π}{3}$，所以cos（π-2θ）=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{2}$，所以x=$\frac{2}{3}$，
又∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以△AMN為等邊三角形，所以綠地的面積S=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$a×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}{a}^{2}$…（5分）
（2）因?yàn)閏os（π-2θ）═-cos2θ=2sin²θ-1=$\frac{1-x}{x}$，
所以x=$\frac{1}{2{sin}^{2}θ}$，則AM=$\frac{a}{2{sin}^{2}θ}$…（7分）
又∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以在△AMN中，∠ANM=$\frac{2π}{3}-θ$，故$\frac{AN}{sinθ}=\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
所以AN=$\frac{a}{2{sin}^{2}θ}$×$\frac{sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{a}{2sinθ•sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}+sin（2θ-\frac{π}{6}）}$…（11分）
又$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{3}＜2θ-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以當(dāng)$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，AN最短，且AN=$\frac{2}{3}a$，
此時(shí)公共綠地走道MN=$\frac{2}{3}a$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．