Question

數(shù)列{a_n}中a1=

1

2

，前n項和Sn=n2an-n( n-1 )，n=1，2，…．
（1）證明數(shù)列{ 

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列；
（2）求S_n關于n的表達式；
（3）設 b_n=

1

n3

Sn，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1，結合條件，可得

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1  ( n≥2 )，即可證得結論；
（2）由（1）得

n+1

n

Sn=2 S1+( n-1 )d=1+n-1=n，從而可求S_n的表達式；
（3）由（2）得b_n=

1

n( n+1 )

=

1

n

-

1

n+1

，利用拆項法可求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：證明：（1）由Sn=n2an-n( n-1 )，得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n( n-1 )  ( n≥2 )．
∴( n2-1 )Sn-n2Sn-1=n( n-1 )，故

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1  ( n≥2 )．…（2分）
∴數(shù)列由{ 

n+1

n

Sn }是首項2S₁=2a₁=1，公差d=1的等差數(shù)列； …（4分）
解：（2）由（1）得

n+1

n

Sn=2 S1+( n-1 )d=1+n-1=n．…（6分）
∴Sn=

n2

n+1

；                                           …（8分）
（3）由（2），得b_n=

1

n3

Sn=

1

n3

•

n2

n+1

=

1

n( n+1 )

=

1

n

-

1

n+1

．…（10分）
∴數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

…（12分）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．                                 …（14分）

點評：本題重點考查等差數(shù)列的定義，考查數(shù)列的通項，數(shù)列的求和等．解題的關鍵是利用a_n=S_n-S_n-1，進行化簡，屬于中檔題．