Question

12．橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），過F₁作弦AB，且△ABF₂的周長(zhǎng)為20，則此橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）．根據(jù)過F₁作弦AB，且△ABF₂的周長(zhǎng)為20，則4a=20，解得a，又c=4，則$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．

解答 解：由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵過F₁作弦AB，且△ABF₂的周長(zhǎng)為20，則4a=20，解得a=5，
又c=4，則$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．