Question

【題目】設不等式組 所表示的平面區(qū)域為Dn ， 記Dn內的格點（格點即橫坐標和縱坐標皆為整數的點）的個數為f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）設bn=2nf（n），Sn為{bn}的前n項和，求Sn；
（3）記 ，若對于一切正整數n，總有Tn≤m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：畫出 的可行域

f（1）=2+1=3

f（2）=3+2+1=6

當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時，y=n，可取格點n個

∴f（n）=3n

（2）解：由題意知：bn=3n2n

Sn=321+622+923+…+3（n﹣1）2n﹣1+3n2n

∴2Sn=322+623+…+3（n﹣1）2n+3n2n+1

∴﹣Sn=321+322+323+…32n﹣3n2n+1

=3（2+22+…+2n）﹣3n2n+1

=3

=3（2n+1﹣2）﹣3nn+1

∴﹣Sn=（3﹣3n）2n+1﹣6

Sn=6+（3n﹣3）2n+1

（3）解：

∴T1＜T2=T3＞T4＞…＞Tn

故Tn的最大值是T2=T3=

∴m≥ ．

【解析】（1）據可行域，求出當x=1，x=2時，可行域中的整數點，分別求出f（1），f（2），f（n）．（2）由于數列的通項是一個等差數列與一個等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減的方法求出數列的和．（3）求出 ，據它的符號判斷出Tn的單調性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的相關知識，掌握不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部．