Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（-1，0），求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=b=1，函數(shù)y=f（x）與直線y=2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求c的值．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)P（-1，0）代入y=f（x）得-a+b+c=0，又c=0，故a=b
由f’（x）=3ax²+2ax=ax（3x+2）=0得，x₁=0，x₂=-，
故當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-），（0，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間是（-，0）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-），（0，+∞）
單調(diào)遞增區(qū)間是（-，0）（6分）
（2）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-），（0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-，0）
故當(dāng)x=-時(shí)，f（x）取極大值為f（-）=-++c，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）的極小值為f（0）=c
要使函數(shù)y=f（x）與直線y=2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則必須滿足-++c=2或c=2
故c=或2．（6分）
分析：（1）先由“函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（-1，0）”，求得函數(shù)f（x），再求導(dǎo)，由f′（x）≥0求得單調(diào)增區(qū)間，由f′（x）≤0求得單調(diào)減區(qū)間，要注意討論．
（2）當(dāng)a=b=1時(shí)，分別求得函數(shù)的極大值和極小值，再由“函數(shù)y=f（x）與直線y=2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，還考查了導(dǎo)數(shù)法研究曲線的相對(duì)位置，基本思路是：求導(dǎo)，明確極值點(diǎn)，再動(dòng)靜結(jié)合求解參數(shù)的范圍．