Question

13．設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為$\frac{32π}{3}$的球面上，則直線B₁C與直線AC₁所成角的余弦值為（　　）

• A． $-\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形得出AB為截面圓的直徑，求出AB的值以及三棱柱外接球的半徑R；再利用三角形以及空間向量的知識(shí)求出向量$\overrightarrow{{AC}_{1}}$與$\overrightarrow{{B}_{1}C}$夾角的余弦值的絕對(duì)值即可．

解答 解：∵∠BCA=90°，BC=CA=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，且為截面圓的直徑；
又三棱柱外接球的體積為$\frac{32π}{3}$，
∴$\frac{4}{3}$π•R³=$\frac{32π}{3}$，
解得外接球的半徑為R=2；

△ABC₁中，AB⊥BC₁，AB=2$\sqrt{2}$，AC₁=2R=4，
∴BC₁=$\sqrt{{4}^{2}{-（2\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
又$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{{CC}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$-$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{{AC}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=$\overrightarrow{AC}$•（-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$）-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$-${\overrightarrow{{CC}_{1}}}^{2}$-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$•$\overrightarrow{CB}$
=0-0-${（2\sqrt{2}）}^{2}$-0
=-8，
|$\overrightarrow{{AC}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{12}$；
∴異面直線B₁C與AC₁所成的角θ的余弦值為：
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{{AC}_{1}}|×|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$|=|$\frac{-8}{\sqrt{12}×\sqrt{12}}$|=$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成角的計(jì)算問(wèn)題，解題時(shí)可以利用兩向量所成的角進(jìn)行計(jì)算，是綜合性題目．