Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-4ax-lnx，則f（x）在（1，3）上不單調(diào)的一個充分不必要條件是（　�。�

• A． a∈（-∞，$\frac{1}{6}$）
• B． a∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$）
• D． a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=ax²-4ax-lnx與x軸在（1，3）有交點(diǎn)，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．

解答 解：f′（x）=2ax-4a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-4ax-1}{x}$，
若f（x）在（1，3）上不單調(diào)，
令g（x）=2ax²-4ax-1，
則函數(shù)g（x）=2ax²-4ax-l與x軸在（1，3）有交點(diǎn)，
a=0時，顯然不成立，
a≠0時，只需$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6a}^{2}+8a≥0}\\{g（1）g（3）＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＞$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．