Question

3．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）在x=$\sqrt{3}$處的切線斜率為$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點(diǎn)A、B在拋物線C上且位于x軸的兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△ABO面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的方程，代入拋物線的方程，由相切的條件：判別式為0，解方程可得p，進(jìn)而得到所求拋物線的方程；
（2）先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6消元，最后可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再由△ABO面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y₁-y₂|，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（$\sqrt{3}$，n），且n²=2$\sqrt{3}$p，
由題意可得切線方程為y-n=$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{3}$），
聯(lián)立拋物線的方程y²=2px，消去x，可得
y²-4py+4pn-2$\sqrt{3}$p=0，
由相切的條件可得16p²-4（4pn-2$\sqrt{3}$p）=0，
解方程可得p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有拋物線的方程為y²=$\sqrt{3}$x；
（2）設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（m，0），
x=ty+m代入y²=$\sqrt{3}$x，
可得y²-$\sqrt{3}$ty-$\sqrt{3}$m=0，
根據(jù)韋達(dá)定理有y₁•y₂=-$\sqrt{3}$m，y₁+y₂=-$\sqrt{3}$t，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=6，
從而$\frac{1}{3}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂-6=0，
∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-6，故m=2$\sqrt{3}$．
故直線AB所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，0），
即有△ABO面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3{t}^{2}+24}$≥6$\sqrt{2}$，
當(dāng)t=0時(shí)，即直線AB垂直于x軸，
△AOB的面積取得最小值，且為6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用直線和拋物線相切的條件，考查三角形的面積的最值，注意求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．