Question

【題目】若函數(shù)恰有兩個(gè)不同極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用轉(zhuǎn)化思想將已知轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性與圖形的大致走勢(shì)，最后利用數(shù)形結(jié)合求得答案；

（2）由題是方程的兩個(gè)不同的根，不妨設(shè)，利用分析法欲證只需證明成立，令，構(gòu)造函數(shù)證得即可.

（1）由函數(shù)，可得，且定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于是方程的兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，

令，則，顯然當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以

故的取值范圍為.

（2）由（1）可知是方程的兩個(gè)不同的根，即，

不妨設(shè)，則

欲證，只需證，即證，即證，即證，

令，構(gòu)造函數(shù)，則在時(shí)恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，即

所以，故成立，

所以成立.