已知AC、BD為圓O：x2+y2=9的兩條相互垂直的弦，垂足為N(
2
，2)，則四邊形ABCD的面積的最大值為
12
12
．
分析：可得圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=3，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，可得d12+d22的值，又四邊形ABCD的兩對角線互相垂直，得到其面積為兩對角線乘積的一半，表示出四邊形的面積，并利用基本不等式可得．
解答：解：∵圓O的方程為：x2+y2=9，
∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=3，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，
∵N(
2
，2)，∴d12+d22=ON2=
2
2+22=6
又AC=2
r2-d12
=2
9-d12
，BD=2
r2-d22
=2
9-d22
，
∴四邊形ABCD的面積S=
1
2
AC•BD=2
(9-d12)(9-d22)

≤（9-d12）+（9-d22）=18-6=12，當(dāng)且僅當(dāng)d12 =d22時取等號，
∴四邊形ABCD面積的最大值為12．
故答案為：12
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及對角線互相垂直的四邊形面積的求法，以及基本不等式的運用，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AC、BD為圓O：x2+y2=9的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，
3
)，則四邊形ABCD的面積的最大值為
14
14
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•太原模擬）已知AC、BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，
2
），則四邊形ABCD的面積的最大值為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AC，BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，
2
)，求四邊形ABCD的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：ax-y+
2
-a=0（a∈R），圓O：x2+y2=4．
（Ⅰ）求證：直線l與圓O相交；
（Ⅱ）判斷直線l被圓O截得的弦何時最短？并求出最短弦的長度；
（Ⅲ）如圖，已知AC、BD為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，
2
），求四邊形ABCD的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•徐匯區(qū)二模）已知AC，BD為圓O：x2+y2=4的兩條互相垂直的弦，AC，BD交于點M（1，
2
），且|AC|=|BD|，則四邊形ABCD的面積的最大值等于（　�。�

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