Question

5．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}（{a∈R}）$．
（Ⅰ）若f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線x-2y+1=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，$\frac{1}{2}$×$\frac{1-4a}{2}$=-1，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）法一：求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
法二：通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出端點(diǎn)值和極值，求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax=$\frac{1-{ax}^{2}}{x}$，
∵只需x-2y+1=0的斜率是$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1-4a}{2}$=-1，
∴a=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=$\frac{1-{ax}^{2}}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$，由f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{a}}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）遞增，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞）等價(jià)，
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），
a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$），遞減區(qū)間是（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞），
（Ⅲ）法一：由f（x）=0，得a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{2-4lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得，1＜x＜$\sqrt{e}$，由g′（x）＜0，得$\sqrt{e}$＜x＜e²，
∴g（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{e}$]遞增，在區(qū)間[$\sqrt{e}$，e²]遞減，
又∵g（1）=0，g（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，g（e²）=$\frac{4}{{e}^{4}}$，
∴當(dāng)0≤a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$或a=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)$\frac{4}{{e}^{4}}$≤a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＜0或a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上沒有零點(diǎn)；
法二：由（Ⅱ）可知：
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[1，e²]遞增，∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＞0，
∴f（x）在[1，e²]上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，
①若$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e²]遞減，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，∴f（x）在[1，e²]上沒有零點(diǎn)；
②若1＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜e²，即$\frac{1}{{e}^{4}}$＜a＜1時(shí)，f（x）在[1，$\sqrt{\frac{1}{a}}$]上遞增，在[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，e²]遞減，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，f（$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$，f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴，
若-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$＜0，即a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上沒有零點(diǎn)，
若-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$=0，即a=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上有一個(gè)零點(diǎn)，
若$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，由f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴＞0得a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$，此時(shí)f（x）在[1，e²]有一個(gè)零點(diǎn)，
由f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴≤0，得a≥$\frac{4}{{e}^{4}}$，此時(shí)在[1，e²]上有2個(gè)零點(diǎn)，
③若$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥e²，即0＜a≤$\frac{1}{{e}^{4}}$時(shí)，f（x）在[1，e²]單調(diào)遞增，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴＞0，
∴f（x）在[1，e²]上有1個(gè)零點(diǎn)，
綜上，當(dāng)0≤a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$或a=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)$\frac{4}{{e}^{4}}$≤a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]上有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＜0或a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，e²]沒有零點(diǎn)，
（法三：本題還可以轉(zhuǎn)化為lnx=$\frac{1}{2}$ax²，再轉(zhuǎn)化為y=lnx與y=$\frac{1}{2}$ax²的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，
可用數(shù)形結(jié)合的方法求解）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．