Question

15．在數(shù)列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…中，已知a₀=a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．
（1）求a₃，a₄；
（2）證明：a_n＞2^n-1（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由a₀=a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．分別令n=3，4，即可得出．
（2）a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．變形為：a_n-a_n-1-a_n-2=2（a_n-1-a_n-2-a_n-3）．可得數(shù)列{a_n-a_n-1-a_n-2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₃-a₂-a₁=2，公比為2．
a_n+2-a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 （1）解：∵a₀=a₁=1，a₂=3，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．
∴n=3時(shí)，a₃=3a₂-a₁-2a₀=3×3-1-2=6，
n=4時(shí)，a₄=3a₃-a₂-2a₁=3×6-3-2×1=13．
（2）證明：∵a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3（n≥3）．
變形為：a_n-a_n-1-a_n-2=2（a_n-1-a_n-2-a_n-3）．
∴數(shù)列{a_n-a_n-1-a_n-2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₃-a₂-a₁=2，公比為2．
∴a_n+2-a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=2時(shí)，a₂=3＞2成立；n=3時(shí)，a₃=6＞2²=4，成立；n=4時(shí)，a₄=13＞2³，成立．
②假設(shè)2≤n≤k+1（k≥1）時(shí)都成立，則n=k+2時(shí)，
a_k+2=${a}_{k+1}+{a}_{k}+{2}^{k}$＞2^k+2^k-1+2^k＞2^k+1，成立．
因此n=k+2時(shí)成立，
綜上可得：n≥2時(shí)，都有a_n＞2^n-1（n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．