Question

在銳角△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，且a＝2csinA.

(1)確定∠C的大��；

(2)若c＝，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）∠C=60°；（2）（3+，3]．

【解析】

試題分析：

（1）把已知的等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，變形為： sinA＝2sinCsinA，根據(jù)sinA不為0，可得出sinC的值，由三角形為銳角三角形，得出C為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；

（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周長(zhǎng)，將表示出a，b及c的值代入，由C的度數(shù)，求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，把B也代入表示出的周長(zhǎng)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值整理后，提取2再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到A的范圍，進(jìn)而確定出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可確定出周長(zhǎng)的范圍．

試題解析：（1）已知a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，由a＝2csinA，

得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，則sinC=，∴∠C=60°或∠C=120°,

∵△ABC為銳角三角形，∴∠C=120°舍去�！唷螩=60°.

（2）∵c=，sinC=

∴由正弦定理得：,

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A，

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

=2[sinA+sin（-A）]+

=2（sinA+sincosA-cossinA）+

=3sinA+cosA+

=2（sinAcos+cosAsin）+

=2sin（A+）+，

∵△ABC是銳角三角形，

∴＜∠A＜，

∴＜sin（A+）≤1，

則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（3+，3]．

考點(diǎn)：正弦定理；正弦函數(shù)的定義域和值域.