Question

【題目】數(shù)列分別滿足：，其中，其中，設(shè)數(shù)列前n項和分別為.

（1）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)k（），使得，則稱為“k墜點(diǎn)數(shù)列”

（Ⅰ）若數(shù)列為“6墜點(diǎn)數(shù)列"，求；

（Ⅱ）若數(shù)列為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在“p墜點(diǎn)數(shù)列”，使得，若存在，求正整數(shù)m的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（1）由兩數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合遞推式可得，，，，由此可得數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列，然后利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式求得答案；

（2）（Ⅰ）根據(jù)題目條件判斷：數(shù)列必為1，3，5，7，5，7，9，11，，即前4項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數(shù)列，求解即可．

（Ⅱ）運(yùn)用數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”且，綜合判斷數(shù)列中有且只有兩個負(fù)項．假設(shè)存在正整數(shù)，使得，顯然，且為奇數(shù)，而中各項均為奇數(shù)，可得必為偶數(shù)．再討論，，，證明，求出數(shù)列即可．

解：（1）數(shù)列，都為遞增數(shù)列，

由遞推式可得，，，，

則數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列．

，；

（2）（Ⅰ）數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)，使得，且，

數(shù)列必為1，3，5，7，5，7，9，11，，

即前4項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數(shù)列，

故；

（Ⅱ），即，

，

而數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”且，

數(shù)列中有且只有兩個負(fù)項．

假設(shè)存在正整數(shù)，使得，顯然，且為奇數(shù)，

而中各項均為奇數(shù)，

必為偶數(shù)．

由，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，故不存在正整數(shù)使得；

當(dāng)時，，

顯然不存在正整數(shù)使得；

當(dāng)時，．

當(dāng)，才存在正整數(shù)使得；

即．

當(dāng)時，，

構(gòu)造：為1，3，1，3，5，7，9，，為，2，4，8，，32，64，

此時，．

，對應(yīng)的，．