Question

18．已知sin（2α+β）=2sinβ，求證：tan（α+β）=3tanα

Answer 1

分析 把已知等式左邊的角β變?yōu)椋é?β）-α，右邊的角2α+β變?yōu)椋é?β）+α，然后左右兩邊分別利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，移項合并后，在等式兩邊同時除以cosαcos（α+β），利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形可得證．

解答 證明：將條件化為：sin[（α+β）+α]-2sin[（α+β）-α]=0，
展開得：sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα-2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα=0，
即：sin（α+β）cosα=3cos（α+β）sinα，
由cos（α+β）cosα≠0，兩邊同除以cos（α+β）cosα，
可得：tan（α+β）=3tanα．（12分）

點評 此題考查了三角函數(shù)的恒等式的證明，用到的知識有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，把已知等式左右兩邊的角度靈活變換是本題的突破點．