Question

【題目】已知（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）若在處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1），，，切線方程為，把點(diǎn)代入①，解得；（2）由可得,令，，利用導(dǎo)數(shù)，畫出的圖像，根據(jù)的零點(diǎn)對進(jìn)行分類討論，由此求得.

試題解析：

（1） ∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又∵，

∴在處的切線方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分

把點(diǎn)代入①，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）由可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

令，，

∵，且，，

∴存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．5分

（1）當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，對任意②式恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）當(dāng)時(shí)，

∵，

由變形可得，

令，下面研究的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴與同號．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

且對成立，

∴函數(shù)在上為增函數(shù)，

而，

∴時(shí)，，∴，

∴函數(shù)在上為減函數(shù)，

∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（3）當(dāng)時(shí)，

∵，

由變形可得，．．．．．．．．．．③

由（2）可知函數(shù)，

∴，

綜合（1）（2）（3）可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分