Question

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，過EF任作一個平面
α分別與直線BC，AD相交于點(diǎn)G，H，下列判斷中：
①對于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH；
②存在一個平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長線上；
③對于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點(diǎn)或相互平行；
④對于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時，幾何體AC-EGFH的體積是一個定值．
其中正確的序號是（　　）

• A、①③④
• B、③④
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：①分別取AC、BD的中點(diǎn)M、N，則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD與BC到平面MENF的距離相等，即可判斷；
②不存在一個平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長線上，即可判斷；
③取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，則EGFH在一個平面內(nèi)，此時直線GF∥EH∥BD，若GF，EH相交于M，則由公理2和公理1，可得BD也過點(diǎn)M．即可判斷；
④對于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面體ABCD體積的一半．

解答： 解：①分別取AC、BD的中點(diǎn)M、N，則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，
且AD與BC到平面MENF的距離相等，因此對于任意的平面α，
都有S_△EFG=S_△EFH．故①對；
②不存在一個平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長線上，
故②錯；
③取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，則EGFH在一個平面內(nèi)，此時直線GF∥EH∥BD；若GF，EH相交于M，則由公理2和公理1，可得BD也過點(diǎn)M，因此③正確；
④對于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時，由①可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面體ABCD體積的一半，因此是一個定值．
綜上可知：只有①③④正確．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．