已知函數(shù)f（x）=（
a
x
）-x，若對任意的x∈（0，1），有不等式f（1-x）f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：問題轉(zhuǎn)化為a2-a[x2+（1-x）2]+[x（1-x）]2≥x（1-x），設(shè)u=x（1-x）∈（0，
1
4
]，得：（a+u）（a+u-1）≥0，求出a的值即可．
解答： 解：f（x）=
a
x
-x，f（1-x）=
a
1-x
-（1-x），
對任意x屬于（0，1），不等式f（x）f（1-x）≥1，
?（a-x2）[a-（1-x）2]≥x（1-x），
?a2-a[x2+（1-x）2]+[x（1-x）]2≥x（1-x），①
設(shè)u=x（1-x）∈（0，
1
4
]，①變?yōu)閍2-a（1-2u）+u2-u≥0，
即（a+u）（a+u-1）≥0，
∴a≤-u，或a≥1-u，
∴a≤-
1
4
，或a≥1，
∴實數(shù)a的取值范圍是：{a|a≤-
1
4
，或a≥1}．
點評：本題考查了不等式的解法，考查了換元思想，本題是一道中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式|x+1|-|x-2|≤a對于任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若對I上任意兩點x1，x2（x1≠x2），總有f（
x1+x2
2
）＜
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為I上的嚴格下凸函數(shù)．若f（x）為I上的嚴格下凸函數(shù)，其充要條件為：對任意x∈I有f″（x）＞0成立（f″（x）是函數(shù)f（x）導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則以下結(jié)論正確的有
 
．
①f（x）=
2x+2014
3x+7
，x∈[0，2014]是嚴格下凸函數(shù)．
②設(shè)x1，x2∈（0，
π
2
）且x1≠x2，則有tan（
x1+x2
2
）＞
1
2
（tanx1+tanx2）
③f（x）=-x3+3x2在區(qū)間[1，2014]上是嚴格下凸函數(shù)．
④f（x）=
1
6
x3+sinx，（x∈（
π
6
，
π
3
））是嚴格下凸函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x-cosx，{an}是公差為
π
8
的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=7π，則[f（a4）]2-a1a7=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，過EF任作一個平面
α分別與直線BC，AD相交于點G，H，下列判斷中：
①對于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH；
②存在一個平面α0，使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；
③對于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點或相互平行；
④對于任意的平面α，當G，H在線段BC，AD上時，幾何體AC-EGFH的體積是一個定值．
其中正確的序號是（　�。�
A、①③④B、③④
C、②③D、①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)θ∈（
3π
4
，π），則關(guān)于x，y的方程
x2
sinθ
+
y2
cosθ
=1所表示的曲線為（　�。�
A、長軸在y軸上的橢圓
B、長軸在x軸上的橢圓
C、實軸在y軸上的雙曲線
D、實軸在x軸上的雙曲線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
，前n項和為Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{an}的通項公式；
（2）當n≥3時，求數(shù)列{|3+log2an|}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
x-y+2≥0
x+y-4≥0
2x-y-5≤0
，
（1）求z=x+2y的最大和最小值．
（2）求z=
y
x
的取值范圍．
（3）求z=x2+y2的最大和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）當a=e時，g（x）=mx2（m＞0，x∈R），
①求H（x）=f（x）g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
②當x∈[-2，4]時，討論曲線y=f（x）與y=g（x）的交點個數(shù)．
（2）若A，B是曲線y=f（x）上不同的兩點，點C是弦AB的中點，過點C作x軸的垂線交曲線y=f（x）于點D，kD是曲線y=f（x）在點D處的切線的斜率，試比較kD與kAB的大�。�

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