Question

16．如圖所示，四棱椎P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠PBA=∠PBC
（1）證明：PB⊥AC
（2）若PB=AB=2，∠ABC=∠PBD=60°，M為PB中點，求四面體M-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC，BD交于點O，由△ABP≌△CBP得PA=PC，故PO⊥AC，又AC⊥BD，故而AC⊥平面PBD，得出PB⊥AC；
（2）過M作BD的垂線MN，則MN⊥平面ABCD，代入體積公式計算即可．

解答 證明：（1）連接AC、BD，設(shè)它們相交于點O，連接PO，則O為AC中點，
∵AB=BC，∠PBA=∠PBC，PB=PB，
∴△ABP≌△CBP，∴PA=PC，
∴PO⊥AC，
∵底面ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，又∵BD?平面PBD，PO?平面PBD，PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD．∵PB?平面PBD，
∴PB⊥AC．
（2）∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AC=BC=2
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×{2^2}sin{60°}=\sqrt{3}$．
過點M作MN⊥BD，垂足為N，
由（1）知NM⊥AC，故MN⊥平面ABCD，
在Rt△MBN中，$MN=MBsin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
四面體M-ABC的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×MN=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．