Question

1．已知復(fù)數(shù)z滿足z+2i、$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)（z+xi）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．
（1）求復(fù)數(shù)z；   
（2）求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出．

解答 解：（1）復(fù)數(shù)z滿足z+2i、$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)，設(shè)z=x+yi（x，y∈R），
又z+2i=x+（y+2）i，且為實(shí)數(shù)，∴y+2=0，解得y=-2．
∴$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x-2i}{2-i}$=$\frac{（x-2i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{2x+2}{5}+\frac{x-4}{5}i$，
∵$\frac{z}{2-i}$為實(shí)數(shù)，∴$\frac{x-4}{5}$=0，解得x=4．
∴z=4-2i
（2）∵復(fù)數(shù)（z+xi）²=[4+（x-2）i]²=16-（x-2）²+8（x-2）i=（12+4x-x²）+（8x-16）i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12+4x-{x}^{2}＞0}\\{8x-16＞0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜6．
即實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件、復(fù)數(shù)的幾何意義、不等式組的解法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．