Question

12．如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A．B，將直線AB向左平移p個(gè)單位得到直線l，N為l上的動點(diǎn)．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）在（1）的條件下，求$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程及N點(diǎn)坐標(biāo)和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$的以N點(diǎn)坐標(biāo)表示的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值的方法，可求得所求的最小值．

解答 解：（1）由條件知lAB：y=x-$\frac{p}{2}$，
則 $\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y得：x²-3px+$\frac{1}{4}$p²=0，則x₁+x₂=3p，
由拋物線定義得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因?yàn)閨AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y²=4x．
（2）直線l的方程為：y=x+$\frac{p}{2}$，于是設(shè)N（x₀，x₀+$\frac{p}{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則$\overrightarrow{NA}$=（x₁-x₀，y₁-x₀-$\frac{p}{2}$），$\overrightarrow{NB}$=（x₂-x₀，y₂-x₀-$\frac{p}{2}$）
即$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+${{x}_{0}}^{2}$+y₁y₂-（x₀+$\frac{p}{2}$）（y₁+y₂）+（x₀+$\frac{p}{2}$）²，
由第（1）問的解答結(jié)合直線方程，不難得出x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
且y₁+y₂=x₁+x₂-p=2p，y₁y₂=（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）=-p²，
則$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=2${{x}_{0}}^{2}$-4px₀-$\frac{3}{2}$p²=2（x₀-p）2-$\frac{7}{2}$p²，
當(dāng)x₀=$\frac{p}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$的最小值為-$\frac{7}{2}$p²．

點(diǎn)評 此題考查拋物線的定義，及向量坐標(biāo)運(yùn)算．