Question

11．對(duì)于函數(shù)f₁（x）、f₂（x）、h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x）、f₂（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x）、f₂（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
第一組：f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，$h（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$
第二組：${f_1}（x）={x^2}-x$，${f_2}（x）={x^2}+x+1$，h（x）=x²-x+1；
（2）設(shè)f₁（x）=log₂x，${f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)f₁（x）=x（x＞0），${f_2}（x）=\frac{1}{x}（x＞0）$，取a＞0，b＞0，生成函數(shù)h（x）圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁+x₂=1，試問是否存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出這個(gè)m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），求出實(shí)數(shù)a，b的值是否存在即可．
（2）依題意，有$2{log_2}（4x）+{log_{\frac{1}{2}}}（4x）+t[2{log_2}（2x）+{log_{\frac{1}{2}}}（2x）]＜0$在x∈[2，4]上有解化簡(jiǎn)得：log₂（4x）+t•log₂（2x）＜0即$t＜-\frac{{2+{{log}_2}x}}{{1+{{log}_2}x}}$在x∈[2，4]上有解，從而求出t的范圍．
（3）依題意，$h（x）=ax+\frac{x}$，由$ax+\frac{x}≥2\sqrt{ab}$當(dāng)且僅當(dāng)$ax=\frac{x}$即$x=\sqrt{\frac{a}}$時(shí)等號(hào)成立，得：$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{a}}=2\\ 2\sqrt{ab}=8\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=8\end{array}\right.$，故$h（x）=2x+\frac{8}{x}$．那么h（x₁）h（x₂）≥m恒成立，只需求解h（x₁）h（x₂）的 最小值，利用基本不等式的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）第一組：h（x）是f₁（x）、f₂（x）的生成函數(shù)，因?yàn)榇嬖?a=\frac{1}{2}，b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$使h（x）=$\frac{1}{2}•$f₁（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•f₂（x），
第二組：h（x）不是f₁（x）、f₂（x）的生成函數(shù)，因?yàn)槿舸嬖赼，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），則有x²-x+1=a（x²-x）+b（x²+x+1）=（a+b）x²+（b-a）x+b
故$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ b-a=-1\\ b=1\end{array}\right.$，而此方程無解，所以h（x）不是f₁（x）、f₂（x）的生成函數(shù)  
（2）依題意，有$2{log_2}（4x）+{log_{\frac{1}{2}}}（4x）+t[2{log_2}（2x）+{log_{\frac{1}{2}}}（2x）]＜0$在x∈[2，4]上有解
化簡(jiǎn)得：log₂（4x）+t•log₂（2x）＜0即$t＜-\frac{{2+{{log}_2}x}}{{1+{{log}_2}x}}$在x∈[2，4]上有解，
函數(shù)$g（x）=-\frac{{2+{{log}_2}x}}{{1+{{log}_2}x}}$在x∈[2，4]的最大值為$-\frac{4}{3}$．
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為$（-∞，-\frac{4}{3}）$．
（3）存在最大的常數(shù)m為289．
依題意，$h（x）=ax+\frac{x}$，由$ax+\frac{x}≥2\sqrt{ab}$當(dāng)且僅當(dāng)$ax=\frac{x}$即$x=\sqrt{\frac{a}}$時(shí)等號(hào)成立，得：$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{a}}=2\\ 2\sqrt{ab}=8\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=8\end{array}\right.$，故$h（x）=2x+\frac{8}{x}$．
$h（{x_1}）h（{x_2}）=（2{x_1}+\frac{8}{x_1}）（2{x_2}+\frac{8}{x_2}）=4•\frac{{（{x_1}^2+4）（{x_2}^2+4）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$4•\frac{{{x_1}^2{x_2}^2+4（{x_1}^2+{x_2}^2）+16}}{{{x_1}{x_2}}}$=$4•\frac{{{x_1}^2{x_2}^2+4[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-2{x_1}{x_2}]+16}}{{{x_1}{x_2}}}$=$4•\frac{{{x_1}^2{x_2}^2+4[1-2{x_1}{x_2}]+16}}{{{x_1}{x_2}}}$=$4（{x_1}{x_2}+\frac{20}{{{x_1}{x_2}}}-8）$；
正數(shù)x₁，x₂，滿足x₁+x₂=1，故${x_1}{x_2}≤{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}=\frac{1}{4}$當(dāng)且僅當(dāng)${x_1}={x_2}=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
函數(shù)h（x₁）h（x₂）的最小值為289．
故最大的常數(shù)m為289．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力和不等式相結(jié)合．讀懂題意，計(jì)算能力和分析能力，綜合能力要求高．屬于難題．