Question

【題目】已知函數(shù) ，a為正常數(shù)．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a= ，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在（1）中當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C（x0 ， y0），記直線(xiàn)AB的斜率為k，試證明：k＞f'（x0）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對(duì)任意的x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

∵a= ，令f'（x）＞0得x＞2或

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

（2）解：證明：當(dāng)a=0時(shí)f（x）=lnx

∴

∴

又

不妨設(shè)x2＞x1，要比較k與f'（x0）的大小，

即比較 與 的大小，

又∵x2＞x1，

∴即比較 與 的大小．

令 ，

則

∴h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

又 ，

∴ ，

∴ ，

即k＞f'（x0）；

（3）解：∵ ，

∴

由題意得F（x）=g（x）+x在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)．

1°當(dāng) ，

∴

由 在x∈[1，2]恒成立．

設(shè)m（x）= ，x∈[1，2]，則

∴m（x）在[1，2]上為增函數(shù)，

∴

2°當(dāng) ，

∴

由 在x∈（0，1）恒成立

設(shè)t（x）= ，x∈（0，1）為增函數(shù)

∴a≥t（1）=0

綜上：a的取值范圍為

【解析】（1）由題意先把f（x）的解析式具體，然后求其導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出的即為函數(shù)的增區(qū)間；（2）對(duì)于當(dāng)a=0時(shí)，先把f（x）=lnx具體出來(lái)，然后求導(dǎo)函數(shù)，得到f′（x0），在利用斜率公式求出過(guò)這兩點(diǎn)的斜率公式，利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（3）因?yàn)間（x）=|lnx|+φ（x），且對(duì)任意的x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，先寫(xiě)出g（x）的解析式，利用該函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種，以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的理解，了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集．