Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E是棱PD的中點，點F是PC的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若底面ABCD為正方形，$PB=\sqrt{2}AB$，求二面角C-AF-D大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，設AC∩BD=O，連結(jié)OE，推導出PB∥EO，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）分別以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AP}$的方向為坐標軸方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-AF-D的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）連接BD，設AC∩BD=O，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD為矩形，∴O是BD的中點，
∵點E是棱PD的中點，∴PB∥EO，
又PB?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）由題可知AB，AD，AP兩兩垂直，
分別以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AP}$的方向為坐標軸方向建立空間直角坐標系．
設由$PB=\sqrt{2}AB$可得AP=AB，
于是可令AP=AB=AD=2，則
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（1，1，1）
設平面CAF的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，1，0）$．由于$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow n=（2，2，0）•（x，1，0）=2x+2=0$，解得x=-1，所以$\overrightarrow n=（-1，1，0）$．
∵y軸?平面DAF，∴設平面DAF的一個法向量為$\overrightarrow m=（1，0，z）$．
∵$\overrightarrow{AF}=（1，1，1）$，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow m=（1，1，1）•（1，0，z）=1+z=0$，解得z=-1，
∴$\overrightarrow m=（1，0，-1）$．
∴$|cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞|=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$．∴二面角C-AF-D的大小為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．