【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，且，為棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若面與面所成二面角的大小為，求與面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見詳解；(2).

【解析】

（1）先證，結(jié)合已知條件，即可求證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角大小求得長度，再用線面角的定義即可求解.

（1）因為平面，平面，故；

又因為四邊形為矩形，故可得；

又平面，且，

故可得平面；

又因為平面，故可得，

又因為，為中點(diǎn)，故，

結(jié)合平面，，

故可得平面，

又因為平面，則.

由題可知，又平面，，

即證平面.

（2）因為平面，且底面為矩形，

故可得兩兩垂直.

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

不妨設(shè)，故可得

，

由（1）中所得可知為平面的法向量，

容易知是平面的一個法向量.

又因為面與面所成二面角的大小為，

故可得，解得.

又因為平面，故可得即為所求.

在中，.

故與面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？

（1）男運(yùn)動員3名，女運(yùn)動員2名；

（2）至少有1名女運(yùn)動員；

（3）隊長中至少有1人參加；

（4）既要有隊長，又要有女運(yùn)動員.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)滿足條件:①都在函數(shù)的圖象上；②關(guān)于原點(diǎn)對稱.則稱點(diǎn)對是函數(shù)的一對“友好點(diǎn)對”(點(diǎn)對與看作同一對“友好點(diǎn)對”).已知函數(shù)(且)，若此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有且只有一對，則的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間，并整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間，可以將學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個等級 :

(Ⅰ)從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計其“愛好”中華詩詞的概率；

(Ⅱ)從兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”時間的平均值與的大小，及方差與的大�。�(只需寫出結(jié)論)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在五面體中，底面為矩形，，，過的平面交棱于，交棱于．

（1）證明：平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境是中國的基本國策.某化工企業(yè),積極響應(yīng)國家要求,探索改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量,可由函數(shù)模型給出,其中n是指改良工藝的次數(shù).

（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型;

（2）依據(jù)國家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過,試問至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).

（參考數(shù)據(jù):取）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，點(diǎn)，角的內(nèi)角平分線所在直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求的內(nèi)切圓圓心.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，在軸上，是否存在點(diǎn)，使得無論非零實(shí)數(shù)怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案