Question

14．已知（1+2x）⁴（1-x²）³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰
（Ⅰ）求a₁+a₂+…+a₁₀的值；
（Ⅱ）求a₂的值
（Ⅲ）將a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆這六個(gè)不同的符號(hào)，放入編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)盒子中，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)數(shù)，若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆這六個(gè)符號(hào)中至多有三個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同，求不同的投放方法的種數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=0，可得a₀=1；再令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀ =1+a₁+a₂+…+a₁₀ =0，從而求得a₁+a₂+…+a₁₀ 的值．
（Ⅱ）把（1+2x）⁴ 和（1-x²）³ 分別利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得含x²項(xiàng)的系數(shù)a₂的值．
（Ⅲ）共包含只有三個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同、只有兩個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同2種情況，分別求得這2種情況下的方法數(shù)，再相加，即得所求．

解答 解：（Ⅰ）∵（1+2x）⁴（1-x²）³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ ，令x=0，可得a₀=1，
再令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀ =1+a₁+a₂+…+a₁₀ =0，∴a₁+a₂+…+a₁₀ =-1．
（Ⅱ）∵（1+2x）⁴（1-x²）³ =[1+8x+24x²+32x³+16x⁴]•[1-3x²+3x⁴-x⁶]=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ ，
∴a₂=-3+24=21．
（Ⅲ）a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆ 這六個(gè)符號(hào)中至多有三個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同，
包括只有三個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同、有兩個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同．
若只有三個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同，則有2•${C}_{6}^{3}$=40種，
若只有兩個(gè)符號(hào)的下標(biāo)與盒子編號(hào)相同，則有${C}_{6}^{2}$•9=135，
故共有的方法種數(shù)為 40+135=175．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問(wèn)題，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題．