Question

2．已知圓C的圓心在直線y=x上，半徑為5且過(guò)點(diǎn)A（4，5），B（1，6）兩點(diǎn)
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（-2，3）的直線l被圓C所截得的線段的長(zhǎng)為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a），則（a-1）²+（a-6）²=（a-4）²+（a-5）²=25，求出a，即可求圓C的方程；
（2）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長(zhǎng)滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答 解：（1）由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a），則（a-1）²+（a-6）²=（a-4）²+（a-5）²=25
∴a=1
∴圓C的方程（x-1）²+（y-1）²=25．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)A（-2，3）的直線l：x=-2，
此時(shí)過(guò)點(diǎn)A（-2，3）的直線l被圓所截得的線段的長(zhǎng)為：2$\sqrt{25-9}$=8，
∴l(xiāng)：x=-2符合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A（-2，3）的直線l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圓心到l的距離d=$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由題意，得（$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+4²=5²，解得k=$\frac{5}{12}$．
∴直線l的方程為$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{23}{6}$=0．即5x-12y+46=0．
綜上，直線l的方程為x=-2，或5x-12y+46=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．