Question

對于函數(shù)f（x）=a+

2

2x+1

（x∈R）；
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；
（2）在（1）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）f（x）是奇函數(shù)，且定義域為R，由f（0）=0求解a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證得f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，結(jié)合f（x）為奇函數(shù)把不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0轉(zhuǎn)化變形，去掉“f”后解關(guān)于t的一次不等式得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=a+

2

20+1

=0，解得a=-1；
（2）∵f（x）的定義域為R，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)．
由（1）可得f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．
轉(zhuǎn)化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），
2t+1≥-t+5，解得t≥

4

3

．
故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥

4

3

}．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．