Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₆=42，a₅+a₇=24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）令b_n=a_n-2 -an （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n．
（2）b_n=a_n-2 -an=2n-2^-2n=2n-（

1

4

）ⁿ，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因?yàn)閟₆=42，a₅+a₇=24，
所以

6a1+ 6×5 2 d=42 2a1+10d=24

，
解得a₁=2，d=2．
所以a_n=2n，Sn=2n+

n(n-1)

2

×2=n2+n．
（2）b_n=a_n-2 -an=2n-2^-2n
=2n-（

1

4

）ⁿ
T_n=2（1+2+3+…+n）-[

1

4

+(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]
=2×

n(n+1)

2

-

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=n2+n-

1

3

(1-

1

4n

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法的合理運(yùn)用．