Question

已知函數(shù)f（θ）=-sin²θ-4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ
（1）對任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，求m取值范圍；
（2）對θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有兩個不等實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先將解析式變形，將對任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）恒成立轉(zhuǎn)為cosθ+

3

cosθ

-4≥m恒成立，只要求函數(shù)f（t）=t+

3

t

-4在（0，1]上的最小值；
（2）將θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有兩個不等實(shí)根，轉(zhuǎn)為cosθ=t，則f（t）=t+

3

t

-4在[-1，0），和（0，1]上有交點(diǎn)，利用其單調(diào)性求m的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（θ）=-sin²θ-4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ
（1）對任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）即cos²θ-4cosθ+3≥mcosθ，cosθ∈[0，1]，
∴cosθ+

3

cosθ

-4≥m，
∵設(shè)cosθ=t，則f（t）=t+

3

t

-4在（0，1]上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）=t+

3

t

-4在（0，1]上的最小值為f（1）=0，
∴對任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，m取值范圍為m≤0；
（2）對θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有兩個不等實(shí)根，即cos²θ-4cosθ+3=mcosθ有兩個不等實(shí)根，cosθ∈[-1，1]，
∴cosθ=0問題不成立，∴兩邊同除以cosθ，得cosθ+

3

cosθ

-4=m有兩個不等實(shí)根，
設(shè)cosθ=t，則f（t）=t+

3

t

-4在[-1，0），和（0，1]上有交點(diǎn)，并且此函數(shù)在兩個區(qū)間上是減函數(shù)，
又函數(shù)f（t）=t+

3

t

-4在，（0，1]上的最小值為f（1）=0，在[-1，0）的最大值為-1，
∴要使對θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有兩個不等實(shí)根的m 的范圍為m≥1或者m≤-1．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的變形以及恒成立問題的解決辦法，注意本題利用換元法將問題轉(zhuǎn)為對勾函數(shù)的最值問題．