Question

已知f（x）=a+

1

4x+1

，對(duì)任意x∈R時(shí)，f（x）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（0）=a+

1

2

=0故可解得a=-

1

2

；
（2）4^x＞0，∴4^x+1＞1，從而有0＜

1

4x+1

＜1，故-

1

2

＜-

1

2

+

1

4x+1

＜

1

2

；
（3）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可；

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=a+

1

2

=0，∴a=-

1

2

．
（2）∵f（x）=-

1

2

+

1

4x+1

，∵4^x＞0，∴4^x+1＞1，
∴0＜

1

4x+1

＜1，∴-

1

2

＜-

1

2

+

1

4x+1

＜

1

2

，
∴f（x）值域?yàn)椋?

1

2

，

1

2

）．
（3）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

4x1+1

-

1

4x2+1

=

4x2-4x1

(4x1+1)(4x2+1)

∵x₁＜x₂，∴4^x2-4^x1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值域的求法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于中檔題．