Question

11．若lg（x-1）+lg（3-x）＜lg（a+x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)有意義可得x的范圍，再由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可化問題為二次函數(shù)的最值問題，求最值可得．

解答 解：由對(duì)數(shù)有意義可得x-1＞0且3-x＞0且a+x＞0，
解得1＜x＜3，且a＞-x，故a＞-1，
再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得lg（x-1）（3-x）＜lg（a+x），
即（x-1）（3-x）＜a+x，可得a＜x-（x-1）（3-x）
=x²-3x+3，1＜x＜3，只需要a小于x²-3x+3（1＜x＜3）的最小值，
由二次函數(shù)可得當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，x²-3x+3取最小值$\frac{3}{4}$，
故答案為：（-1，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指對(duì)不等式的解法，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．