Question

19．設敬列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）設b_n=S_n-3ⁿ，求證：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知遞推式中，以S_n+1-S_n替換a_n+1，然后利用構造法可得${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，即b_n+1=2b_n，得到數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求出等比數列的通項公式，再由a_n=S_n-S_n-1求得數列{a_n}的通項公式a_n．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1=S_n+3ⁿ，得${S}_{n+1}-{S}_{n}={S}_{n}+{3}^{n}$，
∴${S}_{n+1}=2{S}_{n}+{3}^{n}$，則${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，
∵b_n=S_n-3ⁿ，∴b_n+1=2b_n，
∵b₁=S₁-3=a₁-3=4-3=1≠0，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}=2$，
即數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）解：∵數列{b_n}是等比數列，且b₁=1，q=2，
∴$_{n}={S}_{n}-{3}^{n}={2}^{n-1}$，
則${S}_{n}={3}^{n}+{2}^{n-1}$．
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={3}^{n}+{2}^{n-1}-{3}^{n-1}-{2}^{n-2}$=2•3^n-1+2^n-2．
驗證n=1時，上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2•{3}^{n-1}+{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列遞推式，考查等比關系的確定，訓練了等比數列通項公式的求法，是中檔題．