Question

1．如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等，且∠C₁CB=120°．
（1）求證：BC⊥AB₁；
（2）若AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB，求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，B₁O，通過(guò)證明BC⊥平面AOB₁得出BC⊥AB₁；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出平面AB₁C的法向量為$\overrightarrow{m}$，平面AB₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|即為所求二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，B₁O，
∵三樓柱的棱長(zhǎng)都相等，∠C₁CB=120°，
∴△ABC和△B₁BC是等邊三角形，
∴OB₁⊥BC，AO⊥BC，
又OB₁?平面AB₁O，AO?平面AB₁O，AO∩OB₁=O，
∴BC⊥平面AB₁O，
又AB₁?平面AB₁O，
∴BC⊥AB₁．
（2）∵△ABC和△B₁BC是等邊三角形，
∴AO=OB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，又AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB，
∴AO²+OB₁²=AB₁²，即AO⊥OB₁．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OB₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)AB=2，則A（$\sqrt{3}$，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，-1，0），C₁（0，-2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，-2，$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面AB₁C的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面AB₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}=0}\\{-\sqrt{3}{x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{x}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{-\sqrt{3}{x}_{2}-2{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令x₁=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，$\sqrt{3}$），令x₂=1得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角C-AB₁-C₁的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間角的計(jì)算與向量應(yīng)用，屬于中檔題．