Question

7．某大學在開學季準備銷售一種盒飯進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出1盒該盒飯獲利潤10元，未售出的產品，每盒虧損5元．根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．該同學為這個開學季購進了150盒該產品，以x（單位：盒，100≤x≤200）表示這個開學季內的市場需求量，y（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤．
（Ⅰ）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量x的平均數和眾數；
（Ⅱ）將y表示為x的函數；
（Ⅲ）根據頻率分布直方圖估計利潤y不少于1350元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能估計這個開學季內市場需求量x的平均數和眾數．
（Ⅱ）因為每售出1盒該盒飯獲利潤10元，未售出的盒飯，每盒虧損5元，當100＜x≤200時，y=10x-5（150-x）=15x-750，當150＜x≤200時，y=10×150=1500，由此能將y表示為x的函數．
（Ⅲ）由利潤不少于1350元，得150x-750≥750，由此能求出利潤不少于1350元的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得：最大需求量為150盒的頻率為0.015×20=0.3．
這個開學季內市場需求量的眾數估計值是150．
需求量為[100，120）的頻率為0.005×20=0.1，
需求量為[120，140）的頻率為0.01×20=0.2，
需求量為[140，160）的頻率為0.015×20=0.3，
需求量為[160，180）的頻率為0.0125×20=0.25，
需求量為[180，200）的頻率為0.0075×20=0.15，
則平均數：$\overline{x}$=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．
（Ⅱ）因為每售出1盒該盒飯獲利潤10元，未售出的盒飯，每盒虧損5元，
所以當100＜x≤200時，y=10x-5（150-x）=15x-750，
當150＜x≤200時，y=10×150=1500，
所以y=$\left\{\begin{array}{l}{15x-750，100≤x≤150}\\{1500，150＜x≤200}\end{array}\right.$，x∈N．
（Ⅲ）因為利潤不少于1350元，
所以150x-750≥750，解得x≥140．
所以由（Ⅰ）知利潤不少于1350元的概率p=1-0.1-0.2=0.7．

點評 本題考查平均數、函數表達式、概率的求法，考查頻率分布直方圖的應用，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想，是基礎題．