Question

6．在平面直角坐標系中不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤4}\\{y≤x+1}\\{y≥a}\end{array}\right.$，所表示的平面區(qū)域的面積是$\frac{3}{4}$．
（1）求出實數(shù)a的值，并在直角坐標系畫出此平面區(qū)域；
（2）若z=x+2y，求z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出實數(shù)a的值，并在直角坐標系畫出此平面區(qū)域；
（2）若z=x+2y，求z的最大值和最小值．

解答 解：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
∵平面區(qū)域的面積是$\frac{3}{4}$．
∴a＜2，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{y=a}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4-a}{2}}\\{y=a}\end{array}\right.$，即C（$\frac{4-a}{2}$，a），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=a}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a}\end{array}\right.$，即A（a-1，a），
則|AC|=$\frac{4-a}{2}$-（a-1）=$\frac{6-3a}{2}$，
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{6-3a}{2}$×（2-a）=$\frac{3}{4}$（2-a）²=$\frac{3}{4}$，
得（2-a）²=1，即2-a=1或2-a=-1，
即a=1或a=3（舍）；
（2）由z=x+2y，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，平移直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由平移可知當直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過點A（1，0）時，直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此時z取得最小值，得z=1，
當直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過點B（1，2）時，直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大，此時z取得最大值，z=1+2×2=1+4=5
即z的最大值是5，最小值是1．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象結(jié)合三角形的面積求出a的值以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．