Question

17．若函數(shù)y=log_a（x+2）-1（a＞0且a≠1）的圖象過定點A，且點A在一次函數(shù)f（x）=mx-n（m＞0，n＞0）的圖象上，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為9．

Answer 1

分析 容易得出函數(shù)y=log_a（x+2）-1過定點A（-1，-1），進而由條件得出m+n=1，并且m，n＞0，從而便可得出$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$，而由基本不等式即可求出$\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$的最小值，從而得出$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

解答 解：x=-1時，log_a（-1+2）-1=-1；
∴函數(shù)y=log_a（x+2）-1過定點A（-1，-1）；
又點A在一次函數(shù)f（x）=mx-n的圖象上；
∴-m-n=-1；
即m+n=1，且m＞0，n＞0；
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）（m+n）$=$1+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}+4≥5+4=9$，當$\frac{1}{m}=\frac{4}{n}$，即m=$\frac{1}{5}$，n=$\frac{4}{5}$時取“=”；
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為9．
故答案為：9．

點評 考查1的對數(shù)等于0，通過函數(shù)解析式求函數(shù)所過定點坐標的方法，函數(shù)圖象上的點的坐標和函數(shù)解析式的關(guān)系，以及基本不等式在求最小值時的應用，注意判斷等號能否取到．