（2013•煙臺二模）已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，定義向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=(2cos2
B
2
-1，cos2B)，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．
分析：由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直，得到兩向量數(shù)量積為0求出B的度數(shù)，
（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，將B的度數(shù)代入，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出x的范圍即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用基本不等式變形后，求出ac的最大值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將ac的最大值代入計算即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：∵向量
m
=（2sinB，
3
），
.
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B），且
m
⊥
n
，
∴
m
•
n
=2sinBcosB+
3
cos2B=sin2B+
3
cos2B=2sin（2B+
π
3
）=0，
∴2B+
π
3
=kπ，即B=
k
2
π-
π
6
，k∈Z，
∵0＜B＜
π
2
，∴B=
π
3
，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-
π
3
），
由2x-
π
3
∈[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈Z，得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a2+c2-2accos
π
3
=a2+c2-ac≥ac，
∴S△ABC=
1
2
acsin
π
3
≤4
3
，
則△ABC面積的最大值為4
3
．
點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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S2
b2

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1
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f(1)
f′(0)
的最小值為（　�。�

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π
6
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π
6
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1-2i
2-i
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