Processing math: 100%
13.已知函數(shù)f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x>0,a∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底).
(Ⅰ)若f(x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a012時(shí),證明:函數(shù)f(x)有最小值,并求函數(shù)f(x)最小值的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值,從而求出最小值的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f'(x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),
依題意:當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f'(x)≥0恒成立,即ax1exx+2恒成立,
gx=x1exx+2,則gx=xexx+2x1exx+22=x2+x+1exx+220,
所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以gxg0=12,所以a12;---(6分)
(Ⅱ)因?yàn)閇f'(x)]'=2xex+2a>0,所以y=f'(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),
又f'(0)=4a-2<0,f'(1)=6a>0,所以存在t∈(0,1)使得f'(t)=0
且當(dāng)a→0時(shí)t→1,當(dāng)a12時(shí)t→0,所以t的取值范圍是(0,1).-------(8分)
又當(dāng)x∈(0,t),f'(x)<0,當(dāng)x∈(t,+∞)時(shí),f'(x)>0,
所以當(dāng)x=t時(shí),fxmin=ft=2t4et+at+22.且有ft=0a=t1ett+2
由(Ⅰ)知a=t1ett+2=gt,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
g0=12,g(1)=0,且a012,故t∈(0,1),
fxmin=ft=2t4ett1t+2et=ett2+t2,t∈(0,1)-------(10分)
記h(t)=et(-t2+t-2),則h'(t)=et(-t2+t-2)+et(-2t+1)=et(-t2-t-1)<0,
所以h(1)<h(t)<h(0),即最小值的取值范圍是(-2e,-2).-------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2017屆湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三上周測(cè)十二數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:解答題

已知五邊形由直角梯形與直角△構(gòu)成,如圖1所示,,,且,將梯形沿著折起,形成如圖2所示的幾何體,且使平面平面

(1)在線段上存在點(diǎn),且,證明:平面;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),它的漸近線方程為y=±3x,橢圓C1與雙曲線C有相同的焦點(diǎn),橢圓C1的短軸長(zhǎng)與雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)相等.
(1)求雙曲線C和橢圓C1的方程;
(2)經(jīng)過(guò)橢圓C1左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C1交于A、B兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)D,使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng),都有∠ADF=∠BDF;若存在,求出D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.已知集合M={x|0<x<3},N={x|x>2},則M∩(∁RN)=( �。�
A.(0,2]B.[0,2)C.(2,3)D.[2,3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2.(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底)
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí),不等式f(x)≥4a-4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.已知圓C:x2+y2=9,過(guò)點(diǎn)P(3,1)作圓C的切線,則切線方程為x=3或4x+3y-15=0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

5.已知拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)為F,直線MN過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),P為拋物線C準(zhǔn)線l上一點(diǎn)且PF⊥MN,連接PM交y軸于Q點(diǎn),過(guò)Q作QD⊥MF于點(diǎn)D,若|MD|=2|FN|,則|MF|=3+2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.觀察下列三角形數(shù)表:

假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為ann2nN,
(1)歸納出an+1與an的關(guān)系式,并求出an的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)anbn=1(n≥2),求證:b2+b3+…+bn<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.如圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的2017年春運(yùn)期間十二個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表,根據(jù)圖表,下面敘述不正確的是(  )
A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價(jià)格最高
B.深圳和廈門(mén)的春運(yùn)期間往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所下降
C.平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州
D.平均價(jià)格變化量從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門(mén)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案