分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值,從而求出最小值的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)f'(x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),
依題意:當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f'(x)≥0恒成立,即a≥−(x−1)exx+2恒成立,
記g(x)=−(x−1)exx+2,則g′(x)=−xex(x+2)−(x−1)ex(x+2)2=−(x2+x+1)ex(x+2)2<0,
所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=12,所以a≥12;---(6分)
(Ⅱ)因?yàn)閇f'(x)]'=2xex+2a>0,所以y=f'(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),
又f'(0)=4a-2<0,f'(1)=6a>0,所以存在t∈(0,1)使得f'(t)=0
且當(dāng)a→0時(shí)t→1,當(dāng)a→12時(shí)t→0,所以t的取值范圍是(0,1).-------(8分)
又當(dāng)x∈(0,t),f'(x)<0,當(dāng)x∈(t,+∞)時(shí),f'(x)>0,
所以當(dāng)x=t時(shí),f(x)min=f(t)=(2t−4)et+a(t+2)2.且有f′(t)=0⇒a=−(t−1)ett+2
由(Ⅰ)知a=−(t−1)ett+2=g(t),在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
又g(0)=12,g(1)=0,且a∈(0,12),故t∈(0,1),
∴f(x)min=f(t)=(2t−4)et−(t−1)(t+2)et=et(−t2+t−2),t∈(0,1)-------(10分)
記h(t)=et(-t2+t-2),則h'(t)=et(-t2+t-2)+et(-2t+1)=et(-t2-t-1)<0,
所以h(1)<h(t)<h(0),即最小值的取值范圍是(-2e,-2).-------(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2017屆湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三上周測(cè)十二數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:解答題
已知五邊形由直角梯形
與直角△
構(gòu)成,如圖1所示,
,
,
,且
,將梯形
沿著
折起,形成如圖2所示的幾何體,且使平面
平面
.
(1)在線段上存在點(diǎn)
,且
,證明:
平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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A. | (0,2] | B. | [0,2) | C. | (2,3) | D. | [2,3) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 深圳的變化幅度最小,北京的平均價(jià)格最高 | |
B. | 深圳和廈門(mén)的春運(yùn)期間往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所下降 | |
C. | 平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州 | |
D. | 平均價(jià)格變化量從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門(mén) |
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