Question

4．已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)（2，3），它的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，橢圓C₁與雙曲線C有相同的焦點(diǎn)，橢圓C₁的短軸長與雙曲線C的實(shí)軸長相等．
（1）求雙曲線C和橢圓C₁的方程；
（2）經(jīng)過橢圓C₁左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C₁交于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)D，使得無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）雙曲線C和橢圓C₁的方程為：3x²-y²=λ，則λ=3×2²-3²=3．
設(shè)橢圓C₁的方程；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$
橢圓C₁的短軸長與雙曲線C的實(shí)軸長相等，橢圓C₁與雙曲線C有相同的焦點(diǎn)（±2，0）
即即可得b、c、a
（2）直線l垂直x軸時，A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，要使∠ADF=∠BDF，則點(diǎn)D必在x軸上，
設(shè)D（a，0），直線l不垂直x軸時，l的方程設(shè)為：y=k（x+2），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
要使∠ADF=∠BDF，即直線AD、BD的斜率互為相反數(shù)，即$\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{1}-a}+\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{2}-a}=0$，求得a

解答 解：（1）雙曲線C和橢圓C₁的方程為：3x²-y²=λ，則λ=3×2²-3²=3．
∴雙曲線C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
設(shè)橢圓C₁的方程；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$
橢圓C₁的短軸長與雙曲線C的實(shí)軸長相等，
∴橢圓C₁的短軸長為2b=2，橢圓C₁與雙曲線C有相同的焦點(diǎn)（±2，0），
即c=2，∴a=$\sqrt{5}$，橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）直線l垂直x軸時，A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
∵F（-2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，則點(diǎn)D必在x軸上，
設(shè)D（m，0），直線l不垂直x軸時，l的方程設(shè)為：y=k（x+2），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
∵∠ADF=∠BDF，∴直線AD、BD的斜率互為相反數(shù)，
即$\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{1}-a}+\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{2}-a}=0$，
k=0時恒成立．
k≠0時，m=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}+4}=-\frac{5}{2}$；
∴存在定點(diǎn)D（-$\frac{5}{2}$，0），使得無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠ADF=∠BDF．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的方程，及存在性問題，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．