Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（-2，5）．
（Ⅰ）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q是直線OA上的任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{QB}$•$\overrightarrow{QC}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積為0證明△ABC為直角三角形；
（Ⅱ）利用共線向量基本定理可得$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OA}$（λ∈R），求出$\overrightarrow{OQ}$的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得$\overrightarrow{QB}$、$\overrightarrow{QC}$的坐標(biāo)，把$\overrightarrow{QB}$•$\overrightarrow{QC}$化為含有λ的代數(shù)式，配方求得答案．

解答 解：（Ⅰ）△ABC為直角三角形．
證明如下：
∵A（1，2），B（2，3），C（-2，5），
∴$\overrightarrow{AB}=（1，1），\overrightarrow{AC}=（-3，3）$，
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1×（-3）+1×3=0$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$．
即△ABC為直角三角形；
（Ⅱ）由題意知，A，O，Q三點(diǎn)共線，
設(shè)$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OA}$（λ∈R），
則$\overrightarrow{OQ}=（λ，2λ）$，
∴$\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ}=（2-λ，3-2λ）$，
$\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OQ}=（-2-λ，5-2λ）$，
因此$\overrightarrow{QB}•\overrightarrow{QC}=（2-λ，3-2λ）•（-2-λ，5-2λ）$
=（2-λ）（-2-λ）+（3-2λ）（5-2λ）=5λ²-16λ+11
=$5（λ-\frac{8}{5}）^{2}-\frac{9}{5}$．
∴當(dāng)$λ=\frac{8}{5}$時(shí)，$\overrightarrow{QB}$•$\overrightarrow{QC}$取得最小值$-\frac{9}{5}$，此時(shí)$\overrightarrow{OQ}=（\frac{8}{5}，\frac{16}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．