Question

10．已知{a_n}，{b_n}都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)于任意n∈N^*，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列，若a₁=1，b₁=$\sqrt{2}$，則以下正確的是（　�。�

• A． {a_n}是等差數(shù)列
• B． {b_n}是等比數(shù)列
• C． $\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n
• D． a_nb_n=$\frac{\sqrt{2}}{8}$n²（n+7）

Answer 1

分析 化簡可得2b_n²=a_n+a_n+1，a_n+1=b_nb_n+1，從而可得{b_n}是以$\sqrt{2}$為首項(xiàng)，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公差的等差數(shù)列，再結(jié)合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$，代入化簡求解即可．

解答 解：∵a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，
∴2b_n²=a_n+a_n+1，
∵b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列，
∴a_n+1²=b_n²b_n+1²，
∴a_n+1=b_nb_n+1，
∴2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，
∴2b_n=b_n-1+b_n+1，
∵a₁=1，b₁=$\sqrt{2}$，
∴a₂=3，b₂=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，a₃=6，b₃=2$\sqrt{2}$，
∴{b_n}是以$\sqrt{2}$為首項(xiàng)，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∵b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$，
∴2$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+$\frac{{a}_{n+2}}{_{n+2}}$，
且$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$=$\sqrt{2}$，
故{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．