Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積為T(mén)_n，且log₂T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=λa_n-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意的n∈N^*，總有S_n+1＞S_n，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由log₂T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N^*，化為T(mén)_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=T₁，即可得出．
（II）b_n=λa_n-1=λ2^n-1-1，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n．化簡(jiǎn)S_n+1＞S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）∵log₂T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N^*，∴T_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
∴a₁=T₁=2⁰=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}{{2}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}}$=2^n-1，當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=λa_n-1=λ2^n-1-1，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{λ（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=λ（2ⁿ-1）-n．
由S_n+1＞S_n，可得λ（2ⁿ⁺¹-1）-（n+1）＞λ（2ⁿ-1）-n．
化為：λ•2ⁿ＞1，即λ＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∵對(duì)任意的n∈N^*，總有S_n+1＞S_n，
∴λ＞$（\frac{1}{{2}^{n}}）_{max}$=$\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$（\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．