Question

1．已知直線Ax+By+C=0（A²+B²=C²）與圓x²+y²=4交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，則|MN|等于$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$等于-2．

Answer 1

分析 由題意，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由弦心距、圓的半徑及弦長的關(guān)系求得弦長；再解三角形求出∠MON，利用數(shù)量積公式即可求出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．

解答 解：如圖，圓心到直線的距離是d=$\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，
又A²+B²=C²，
∴d=$\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=1．
又圓的半徑是2，
∴|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{3}$；
sin∠OMN=sin∠ONM=$\frac{1}{2}$．
∴∠OMN=∠ONM=30°，可得∠MON=120°．
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2×2×cos120°=-2．
故答案為：$2\sqrt{3}$，-2．

點評 本題考查數(shù)量積的公式，考查直線與圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，屬于中檔題．