Question

17．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足a₁=1且a_n，a_n+1是函數(shù)f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的兩個(gè)零點(diǎn)，則b₈=（　�。�

• A． 24
• B． 32
• C． 48
• D． 64

Answer 1

分析 由根與系數(shù)關(guān)系得到a_n•a_n+1=2ⁿ，取n=n+1后再得一式，兩式相除，可得數(shù)列{a_n}中奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列，求出a₈，a₉后，可求b₈．

解答 解：由已知得，a_n•a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1•a_n+2=2ⁿ⁺¹，
兩式相除得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2．
∴a₁，a₃，a₅，…成等比數(shù)列，a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列．
而a₁=1，a₂=2，
∴a₁₀=2×2³=16，a₉=1×2⁴=16，
又a_n+a_n+1=b_n，所以b₈=a₈+a₉=32．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，等比數(shù)列的判定及通項(xiàng)公式求解，考查轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、計(jì)算能力，是中檔題．