Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且過點A（2，0），
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過點A且與橢圓的另一交點為B，若|AB|=

4 2

5

，求直線l的傾斜角．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得a=2，由e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，由此能求出橢圓的方程．
（2）由（Ⅰ）設點B的坐標為（x₁，y₁），設直線l的方程為y=k（x+2），聯(lián)立

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由此能求出直線l的傾斜角．

解答： （1）解：由橢圓過點（2，0）且a＞b＞0，
所以a=2，由e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，
所以，a²=4，c²=3，b²=1，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）設點B的坐標為（x₁，y₁），
直線l的斜率為k．則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，
消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．…（7分）
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

．
從而y1=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．…（10分）
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

．
整理得32k⁴-9k²-23=0，
即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．…（11分）
所以直線l的傾斜角為

π

4

或

3π

4

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與傾斜角的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．